Stochastik 1.) Statistik - Auswertung von Tabellen mit mathematischen Mitteln 2.) Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aus einem Experiment werden Prognosen für die Zukunft abgegeben. Zufallsexperiment 1.) Durchführung unter genau festgelegten Vorschriften 2.) Beliebig oft wiederholbar unter völlig gleichen Bedingungen 3.) Mindestens zwei Mögliche Ergebnisse 4.) Ergebnis nicht vorhersagbar Heißt: Zufallsexperiment Wird beschrieben durch 1.) Ergebnisse, die auftreten können 2.) die Grundgesamtheit der Menge S aller möglichen Ergebnisse 3.) Die Wahrscheinlichkeit mit der jedes Ergebnis eintritt 1.) Einstufiges Zufallsexperiment 1.1.) Münze 1.2.) Würfel 1.3.) Skatkarte 2.) Mehrstufiges 2.1.) Zweimal werfen einer Münze 2.2.) Ziehne ohne Zurücklegen Beschreibung: 1.) Ergebnismenge 2.) Baumdiagramm 1.) Ereignis 2.) Elementarereignis 3.) Ergebnismenge Ein Zufallsexperiment habe die Ergebnismenge S. Jede Teilmenge A von S ist ein Ereignis Ein Ereignis ist eingetreten, wenn eines ihrer Ergebnisse bei der Durchführung des Experiments als Ergebnis aufgetreten ist Sicheres Ereignis: Tritt bei jeder Durchführung ein Unmögliches Ereignis: Tritt niemals ein Elementareignis: Nur ein Element Gegenereignis Verknüpfung von Ereignissen 1.) Geschnitten 2.) Vereinigt Vereinigungsmenge E1 oder E2 E1 CUP E2 Schnittmenge E1 CAP E2 E1 und E2 Unvereinbare Ereignisse Wahrscheinlichkeit Absolute Häufigkeit H: Die Anzahl der Fälle, in der E eintritt Relative Häufigkeit: h(E) = H/n absolute Häufigkeit/Stichprobenumfang Die relative Häufigkeit liegt zwischen 0 und 1 Die summe der relativen Häufigkeiten e1 bis en ist 1 bzw 100% Gegenereignis: h(E) + NOT h(E) = 1 Definition der Wahrscheinlichkeit Gesetz der großen Zahlen Wird ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt, dann stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten um einen festen Wert P(B) = 1-P(A) Eigenschaften: 1.) Nichtnegativität 2.) Normiertheit Laplace-Experiment: Wenn für alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments, die gleiche Wahrscheinlichkeit angenommen werden kann Laplace-Formel Ereignisse E: P(E) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen E eintritt / Anzahl der möglichen Ereignisse P(E) = g/m = günstig / möglich Pfadmultiplikationsregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit auf den Teilstrecken des Pfades Pfadadditionsregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse Pfadmultiplikationsregel P(ww) = (w and w) = P(w) * P(w) Pfadadditionsregel P (ww or ss) = P(w) * P(w) + P(s) * P(s) Additionssatz: P (A CUP B) = P(A)+P(B) - P(A CAP B) Spezielle Form P (A CUP B) = P(A) + P(B) Bedingte Wahrscheinlichkeit: Vorraussetzung oder Bedingung Allgemeiner Multiplikationssatz: P (A CAP B) = P (A) * P_A (B) P_A(B) = (P CAP B) / P(A) Unabhängige Ereignisse: P (A CAP B) = P (A) * P (B) Allgemeiner Multiplikationssatz: P (A CAP B) = P(A) * P_A(B) Spezieller: P (A CAP B) = P (A) * P (B) Kombinatorische Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeit Produktregel Baumdiagramm Stichproben geordnete Stichproben: Unterscheidung Geordnete Stichproben ohne zurücklegen Aus einer Menge (Gesamtheit) von n Elementen erhält man durch k-faches Ziehen n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1) = (n!)/(n-k)! geordnete Stichproben ohne zurücklegen Für n verschiedene Objekte gibt es n * (n-1) * ... * 4 * 3 * 2 * 1 = n! geordnete Vollerhebungen (Vertauschungen oder Permutationen) Entnimmt man k Elelemente aus einer Menge von n Elementen, so gibt es (n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1))/k! = n!/(k!*(n-k)! = (n über k) ungeordnete Stichproben Zufallsvariable Unter einer Zufallsvariablen X eines Zufallsexperiments versteht man eine Funktion, die jedem Ergebnis e_i eine Zahl Zuordnet X:e_i -> X(e_i) Wahrscheinlichkeitsfunktion Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f einer Zufallsvariable X versteht man die Funktion f:x_i -> P (X = x_i)-. Erwartungswert einer Zufallsvariablen E(x) = x_1 * P (x_1) + x_2 * P (x_2) + ... + x_n * P (x_n) = SUM_1^n = x_i * P (x_i) günstig ungünstig fair Varianz und Standardabweichung Ist X eine Zufallsvariable, welche die Werte x_1, ..., x_n annehmen kann und den Erwartungswert E(X) hat, so heißt, die Zahl s^2 mit s^2 = (x_1 - E(X))^2 * P(X = x_1) + ... + (x_n * E(X))^2 * P (X = x_) die Varianz der Zufallsvariablen X Standardabweichung: s SQRT (Varianz)