Stochastik
1.) Statistik - Auswertung von Tabellen mit mathematischen Mitteln
2.) Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aus einem Experiment werden Prognosen für die Zukunft abgegeben.
Zufallsexperiment
1.) Durchführung unter genau festgelegten Vorschriften
2.) Beliebig oft wiederholbar unter völlig gleichen Bedingungen
3.) Mindestens zwei Mögliche Ergebnisse
4.) Ergebnis nicht vorhersagbar
Heißt: Zufallsexperiment
Wird beschrieben durch
1.) Ergebnisse, die auftreten können
2.) die Grundgesamtheit der Menge S aller möglichen Ergebnisse
3.) Die Wahrscheinlichkeit mit der jedes Ergebnis eintritt
1.) Einstufiges Zufallsexperiment
1.1.) Münze
1.2.) Würfel
1.3.) Skatkarte
2.) Mehrstufiges
2.1.) Zweimal werfen einer Münze
2.2.) Ziehne ohne Zurücklegen
Beschreibung:
1.) Ergebnismenge
2.) Baumdiagramm
1.) Ereignis
2.) Elementarereignis
3.) Ergebnismenge
Ein Zufallsexperiment habe die Ergebnismenge S. Jede Teilmenge A von S ist ein Ereignis
Ein Ereignis ist eingetreten, wenn eines ihrer Ergebnisse bei der Durchführung des Experiments als Ergebnis aufgetreten ist
Sicheres Ereignis: Tritt bei jeder Durchführung ein
Unmögliches Ereignis: Tritt niemals ein
Elementareignis: Nur ein Element
Gegenereignis
Verknüpfung von Ereignissen
1.) Geschnitten
2.) Vereinigt
Vereinigungsmenge E1 oder E2 E1 CUP E2
Schnittmenge E1 CAP E2 E1 und E2
Unvereinbare Ereignisse
Wahrscheinlichkeit
Absolute Häufigkeit H: Die Anzahl der Fälle, in der E eintritt
Relative Häufigkeit: h(E) = H/n absolute Häufigkeit/Stichprobenumfang
Die relative Häufigkeit liegt zwischen 0 und 1
Die summe der relativen Häufigkeiten e1 bis en ist 1 bzw 100%
Gegenereignis: h(E) + NOT h(E) = 1
Definition der Wahrscheinlichkeit
Gesetz der großen Zahlen
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt, dann stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten um einen festen Wert
P(B) = 1-P(A)
Eigenschaften:
1.) Nichtnegativität
2.) Normiertheit
Laplace-Experiment: Wenn für alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments, die gleiche Wahrscheinlichkeit angenommen werden kann
Laplace-Formel
Ereignisse E: P(E) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen E eintritt / Anzahl der möglichen Ereignisse
P(E) = g/m = günstig / möglich
Pfadmultiplikationsregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit auf den Teilstrecken des Pfades
Pfadadditionsregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse
Pfadmultiplikationsregel P(ww) = (w and w) = P(w) * P(w)
Pfadadditionsregel P (ww or ss) = P(w) * P(w) + P(s) * P(s)
Additionssatz:
P (A CUP B) = P(A)+P(B) - P(A CAP B)
Spezielle Form
P (A CUP B) = P(A) + P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Vorraussetzung oder Bedingung
Allgemeiner Multiplikationssatz:
P (A CAP B) = P (A) * P_A (B)
P_A(B) = (P CAP B) / P(A)
Unabhängige Ereignisse:
P (A CAP B) = P (A) * P (B)
Allgemeiner Multiplikationssatz: P (A CAP B) = P(A) * P_A(B)
Spezieller: P (A CAP B) = P (A) * P (B)
Kombinatorische Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeit
Produktregel
Baumdiagramm
Stichproben
geordnete Stichproben: Unterscheidung
Geordnete Stichproben ohne zurücklegen
Aus einer Menge (Gesamtheit) von n Elementen erhält man durch k-faches Ziehen
n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1) = (n!)/(n-k)!
geordnete Stichproben ohne zurücklegen
Für n verschiedene Objekte gibt es n * (n-1) * ... * 4 * 3 * 2 * 1 = n! geordnete Vollerhebungen (Vertauschungen oder Permutationen)
Entnimmt man k Elelemente aus einer Menge von n Elementen, so gibt es
(n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1))/k! = n!/(k!*(n-k)! = (n über k)
ungeordnete Stichproben
Zufallsvariable
Unter einer Zufallsvariablen X eines Zufallsexperiments versteht man eine Funktion, die jedem Ergebnis e_i eine Zahl Zuordnet
X:e_i -> X(e_i)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f einer Zufallsvariable X versteht man die Funktion f:x_i -> P (X = x_i)-.
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
E(x) = x_1 * P (x_1) + x_2 * P (x_2) + ... + x_n * P (x_n) = SUM_1^n = x_i * P (x_i)
günstig
ungünstig
fair
Varianz und Standardabweichung
Ist X eine Zufallsvariable, welche die Werte x_1, ..., x_n annehmen kann und den Erwartungswert E(X) hat, so heißt, die Zahl s^2 mit
s^2 = (x_1 - E(X))^2 * P(X = x_1) + ... + (x_n * E(X))^2 * P (X = x_)
die Varianz der Zufallsvariablen X
Standardabweichung: s SQRT (Varianz)
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Statistische Einheiten
Grundgesamtheiten
Also, die Objekte, die beobachtet werden, heißen: Untersuchungseinheiten oder statistische Einheiten
statistische Einheit = Träger der Information
Massenphänomene
statistische Masse
gleichartige Einheiten
Identifikationskriterien
1.) zeitlich
2.) räumlich
3.) sachlich
Grundgesamtheit: Omega
Und das einzelne Objekt: omega
Omega := {omega | erfüllt}
Grundgesamtheit = statistische Masse = Population = Kollektiv
Die Anzahl
m (Omega) = Umfang
reale Grundgesamtheit
fiktive Grundgesamtheit
Merkmal M (omega)
Merkmalausprägung
Modalität
Statistische Variable
Manchmal Merkmal = Variable
Eine Statistische Variable ordnet der statistischen Einheit omega oder ihrem Merkmal eine reelle Zahl x zu
x = X (omega)
x = Fkt (M(omega))
identische Funtkion
X:Omega -> Reellen Zahlen
omega -> X (omega)
Merkmalstypen und Messbarkeitsniveaus
1.) Qualitative Merkmale
2.) Quantitative Merkmale
1.) Diskrete
2.) Statige oder kontinuierliche
Skala, bei Messbarkeitsniveaus
1.) Nominal messbare Variablen: Lediglich gleichheit oder Anderartigkeit
2.) Ordinal messbar: Unterscheidbar und natürliche sinnvolle Reihenfolge
3.) Kardinal:
Teilgesamtheiten, Stichproben
Vollerhebungen, Totalerhebung
Reine Zufallserhebung
Repräsentative Stichproben
Statistische Verteilung
Urliste
Elemente omega_1 omega_2 omega_3 ... omega_n
Merkmalswerte x_1 x_2 x_3 ... x_n
Die Folge (x_n) heißt Beobachtungsreihe der Variablen oder statistische Reihe X
x_i = X (omega_i), für i = 1, ..., n
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit
