Grenzwerte von Folgen Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, ..., f(n) = a_n Der Grenzwertbegriff Eine Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder von (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen |a_n - a| < epsilon Eigenschaften konvergenter Folgen 1. Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert 2. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge (a_n) konvergiert gegen den Grenzwert von (a_n) 3. Jede konvergente Folge ist beschränkt Divergente Folgen Das Rechnen mit konvergenten Folgen 1. Vergleichssatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n => a <= b 2. Einschnürungssatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a und ist fast immer a_n <= c_n <= b_n => die Folge (c_n) konvergiert gegen a 3. Betragssatz 4. Satz ohne Namen I: Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt |a_n-a| <= alpha_n, dann konvergiert die Folge (a_n) gegen a 5. Satz ohne Namen II: Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 6. Rechenregeln Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 1. Das Monotonie-Prinzip a_n <= a_n+1 a_n >= a_n+1 Eine Folge ist genau dann konvergent wenn sie beschränkt und monoton ist 2. Das Auswahl-Prinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 3. Das Cauchysche Konvergenzprinzip m, n > n_0 => |a_m - a_n| < epsilon Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist 4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n+1 in I_n (b_n - a_n) ist Nullfolge Stetigkeit von Funktionen 1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) 2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 3. Rechenregeln 4. Stetige Funktionen auf Intervallen 4.1. Der Nullstellensatz von Bolzano 4.2. Der Zwischenwertsatz von Bolzano 4.3. Der Satz vom Minimum und Maximum Grenzwerte von Funktionen 1. Folgenkriterium 2. Epsilon-Delta-Kriterium 3. Cauchysche Konvergenzprinzip für Funktionen 4. Rechenreglen Differenzierbarkeit Der Differenzenquotient Differentiationsregeln 1. Rechenregeln 1.1. Summenregel 1.2. Faktorregel 1.3. Produktregel 1.4. Quotientenregel 2. Kettenregel 3. Exponentialfunktion 4. Logarithmusfunktion Der Satz von Rolle Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Die Regel von d'Hospital Reihen 1. Harmonische Reihe 2. Geometrische Reihe 3. Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a 4. Logarithmusreihe, alternierende harmonische Reihe