Euklidische Geometrie:
Im engsten Sinne ist euklidische Geometrie die Geometrie, die Euklid in dem Werk Die Elemente dargelegt hat.
I.) Definitionen
- Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
- Eine Linie ist eine breitenlose Länge.
- Eine Gerade ist eine Linie, die bezüglich der Punkte auf ihr stets gleich liegt.
II.) Postulate
- Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
- Eine Linie ist eine breitenlose Länge.
- Eine Gerade ist eine Linie, die bezüglich der Punkte auf ihr stets gleich liegt.
III.) Euklids Axiome
- Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
- Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Summen gleich.
- Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
- Was miteinander zur Deckung gebracht werden kann, ist einander gleich.
- Das Ganze ist größer als ein Teil.
IV.) Probleme und Theoreme
- Beispiel: „Wenn in einem Dreieck zwei Winkel einander gleich sind, müssen auch die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten einander gleich sein.“
1.) Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich
a = c ∧ b = c =⇒ a = b
2.) Wenn Gleichem Gleiches hinzugef ̈ugt wird, sind die Ganzen gleich
a = b ∧ c = d =⇒ a + c = b + d
3.) Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
a = b ∧ c = d =⇒ a − c = b − d.
Es seien Primzahlen p1, . . . , pn vorgelegt und der Gr ̈oße nach sortiert, q := p1 ·. . .·pn
und x := q+1. Ist x eine Primzahl, so ist nichts mehr zu zeigen. Ist x keine Primzahl,
so besitzt x wenigstens einen Primteiler y.
Annahme: y ist eine der vorgelegten Primzahlen. Dann teilt y die Zahl q und die
Zahl x, also auch die Differenz x − q = 1. Aber das ist absurd
