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Jede Zahl lässt sich Primfaktoren zerlegen. Das heißt Primfaktor ist Primzahl.

Und das heißt, jede Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. 

Das ist logisch. Weil, wenn eine Zahl, ein Produkt von Nicht-Primzahlen wäre, dann wäre sie ein Produkt einer Nicht-Primzahl. Und um diese geht es. Da diese aber keine Primzahl ist, lässt sie sich teilen. Dafür gilt rekursiv das gleiche. Diese lassen sich wieder teilen, oder nicht. Wenn nicht, ist es eine Primzahl. Und wenn doch lässt es sich weiter teilen. 

Jetzt gilt aber: 

Es gibt nur eine gerade Primzahl und das ist die 2. Die 2 ist eine Primzahl, aber die einzig gerade Primzahl.

1.) Wenn man jetzt Zahlen anguckt, dann muss das nicht 

2*3*5*7 sein

Sondern es kann auch 

2*2*2*2

sein, das heißt, die gleiche Primzahl kann mehrfach vorhanden sein. Es geht auch

2*2*3

Aber: Jede gerade Zahl, hat den Primfaktor 2

Und das ergibt Sinn. Weil jede gerade Zahl lässt sich durch 2 teilen. Das macht eine gerade Zahl aus. Also, enthält, jede gerade Zahl, mindestens ein Mal den Primfaktor 2. 

Aber: Wenn man sich das jetz anschaut: 

2*3+1 = 7 (Primzahl)
2*5+1 = 11 (Primzahl)
2*7+1 = 15 (Keine Primzahl)

Was danach aussieht, als ob das Primzahl sind keine. Nur, jede Primzahl muss ungerade sein. Es gibt keine geraden Primzahlen. 

Deswegen, kann jede Primzahl nur so schreibbar sein:

2 * Primzahl1 * Primzahl2 * ... * Primzahln + 1

Bei den geraden Zahlen gilt:

2*5 = 10 
2*5+1 = 10 + 1 = 11

Wenn ich eine zwei als Primfaktor in 

n-1 habe, dann ist das eine ungerade Zahl.

Das heißt, für alle gerade Zahlen kann nicht sein:

2 * Primzahl1 * Primzahl2 * ... * Primzahln + 1

Das heißt, die Zahl -1, sind die Primfaktoren alle ungerade 

Zum Beispiel

5*3
5*7
3*7

und so weiter


Jetzt der Euklidische Beweis. 

Ich habe jetzt so und so viele Primazahlen. Da ich jede Zahl in Primfaktoren zerlegen kann, steht da 

p1*p2*...*pn

Ist eine Zahl. 

Und

p1*p2*...*pn+1 

ist eine Zahl. Wenn diese Zahl eine Primzahl ist, das ist mit dem Beweis nicht gesagt, dann ist es eine neue Primzahl. Also, wieder eine.

Wenn es keine Prizahl ist, muss es mehr Primzahlen geben. Denn würde eine Primzahl 

p1*p2*...*pn

teilen 

dann muss auch 

p1*p2*...*pn+1 

teilen, aber das geht nicht, wegen der 1

(p1*p2*...*pn+1)/pm

(p1*p2*...*pn)/pm + 1/pm

Und deswegen sind diese Primzahlen p1 ... pn nicht alle und es muss noch eine weitere geben.