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Grenzwerte von Folgen

Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, ..., f(n) = a_n

Der Grenzwertbegriff

Eine Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder von (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen

|a_n - a| < epsilon 

Eigenschaften konvergenter Folgen
1. Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert 
2. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge (a_n) konvergiert gegen den Grenzwert von (a_n)
3. Jede konvergente Folge ist beschränkt
Divergente Folgen
Das Rechnen mit konvergenten Folgen
1. Vergleichssatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n => a <= b
2. Einschnürungssatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a und ist fast immer a_n <= c_n <= b_n => die Folge (c_n) konvergiert gegen a
3. Betragssatz
4. Satz ohne Namen I: Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt |a_n-a| <= alpha_n, dann konvergiert die Folge (a_n) gegen a
5. Satz ohne Namen II: Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 
6. Rechenregeln
Vier Prinzipien der Konvergenztheorie
1. Das Monotonie-Prinzip 

a_n <= a_n+1
a_n >= a_n+1

Eine Folge ist genau dann konvergent wenn sie beschränkt und monoton ist

2. Das Auswahl-Prinzip von Bolzano-Weierstraß

Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge 
Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge

3. Das Cauchysche Konvergenzprinzip

m, n > n_0 => |a_m - a_n| < epsilon 

Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist

4. Das Prinzip der Intervallschachtelung

I_n = [a_n;b_n]
I_n+1 in I_n
(b_n - a_n) ist Nullfolge 

Stetigkeit von Funktionen
1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a)
2. Epsilon-Delta-Kriterium

|x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 

3. Rechenregeln
4. Stetige Funktionen auf Intervallen 
4.1. Der Nullstellensatz von Bolzano
4.2. Der Zwischenwertsatz von Bolzano
4.3. Der Satz vom Minimum und Maximum 

Grenzwerte von Funktionen 
1. Folgenkriterium
2. Epsilon-Delta-Kriterium 
3. Cauchysche Konvergenzprinzip für Funktionen 
4. Rechenreglen 

Differenzierbarkeit
Der Differenzenquotient
Differentiationsregeln
1. Rechenregeln
1.1. Summenregel
1.2. Faktorregel
1.3. Produktregel
1.4. Quotientenregel
2. Kettenregel
3. Exponentialfunktion 
4. Logarithmusfunktion 

Der Satz von Rolle
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Die Regel von d'Hospital

Reihen 

1. Harmonische Reihe 
2. Geometrische Reihe 
3. Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a
4. Logarithmusreihe, alternierende harmonische Reihe