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Grenzwerte von Folgen
Der Grenzwertbegriff
Eigenschaften konvergenter Folgen
Divergente Folgen
Das Rechnen mit konvergenten Folgen
Vier Prinzipien der Konvergenztheorie


Grenzwerte von Folgen

Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n
(a_n)

Der Grenzwertbegriff

Eine Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder der Folge (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen
Eine Folge (a_n) konvergiert gegen a in R, wenn gilt |a_n - a| < epsilon 

Eigenschaften konvergenter Folgen

1. Eine Konvergente Folge hat genau einen Grenzwert 
2. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert 
3. Jede konvergente Folge ist beschränkt

Divergente Folgen
Das Rechnen mit konvergenten Folgen
1. Vergleichsatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n, so gilt a <= b
2. Einschnürungssatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folgen (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n < b_n, so konvergiert die Folge (c_n) gegen a
3. Satz ohne Namen I: Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n - a| < alpha_n, so konvergiert die Folge (a_n) gegen a
4. Satz ohne Namen II: Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, so ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge  
5. Rechenregeln für konvergente Folgen

Vier Prinzipien der Konvergenztheorie
1. Monotonieprinzip: 

a_n <= a_n+1, für alle n in N

Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist

2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip

|a_m - a_n| < epsilon 

Cauchy-Folge <=> Konvergente Folge

3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß

Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge 
Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge

4. Das Prinzip der Intervallschachtelung

I_n = [a_n;b_n]
I_n+1 in I_n
(b_n-a_n) ist Nullfolge 

1. Stetigkeit von Funktionen 
1.1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a)
1.2. Epsilon-Delta-Kriterium: |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 
1.3. Rechenregeln 
2. Konvergenz von Funktionen
2.1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann ist die Folge (f(a_n)) konvergent
2.2. Epsilon-Delta-Kriterium: |a_n-a| < epsilon => |f(x)-b| < delta
3. Differenzierbarkeit
Ableitung

lim_x->a (f(x)-f(a))/(x-a)
lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h

1. Differenitationsregeln 
1.1. Rechenregeln 
1.1.1. Summregel: (f(x)+/-g(x))' = f'(x)+/-g'(x)
1.1.2. Faktorregel: (alpha * f(x))' = alpha * f'(x)
1.1.3. Produktoregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f'(x)*g'(x)
1.1.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/((g(x))^2)
1.2. Kettenregel: ((f o g)(x))' = f'(g(x))*g'(x)
1.3. Exponentialfunktion: (exp_a(x))' = exp_a(x)*ln(a)

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung: 

f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) oder f'(x_0)(b-a) = f(b)-f(a)

Der Satz von Rolle: Sei f(a) = f(b), dann gibt es ein x_0 mit f(x_0) = f(b)-f(a)...???
Die Regel von d'Hospital: 

Hilfsatz 

(f(b)-f(a))*g'(x_0) = (g(b)-g(a))*f'(x_0)

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)

Reihen: 

s_n = SUM_k=1^n = a_1 + ... + a_n

Harmonische Reihe: SUM (1/k)
Geometrische Reihe: SUM (q^n)
Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM (f(a)^(k))/(k!)(x-a)^k
Alternierende harmonische Reihe, Logarithmusreihe: SUM (-1)^(n-1)/n