1. Der Grenzwertbegriff Ein Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n Eine Folge konvergiert, wenn fast alle Gleider der Folge in einer epsilon-Umgebung von (a_n) liegen Eine Folge (a_n) konvergiert gegen a in R, |a_n - a| < epsilon 2. Eigenschaften konvergenter Folgen 2.1. Jede konvergente Folge hat genau einen Grenzwert 2.2. Jede konvergente Folge ist beschränkt 2.3. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge, konvergiert 3. Divergente Folgen 4. Das Rechnen mit konvergenten Folgen 4.1. Vergleichssatz Konvergieren die Folgen (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und gilt fast immer a_n <= b_n, so folgt a <= b 4.2. Einschnührungssatz Konvergieren die Folgen (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n <= b_n, so konvergiert die Folge (c_n) gegen a 4.3. Satz ohne Namen I Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n-a| <= alpha_n, dann konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4.4. Satz ohne Namen II Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfoge 4.5. Rechenregeln für konvergente Folgen 5. Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 5.1. Das Monotonieprinzip Eine Folge (a_n) heißt monoton, wenn gilt a_n <= a_n+1 für alle n in N a_n >= a_n+1 Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist 5.2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip n, m > n_0 => |a_m-a_n| < epsilon Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist 5.3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthälte eine konvergente Teilfolge 5.4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n+1 in I_n (b_n-a_n) ist Nullfolge 1. Stetigkeit von Funktionen 1.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) 1.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 1.3. Rechenregeln 1.4. 1.4.1. Der Nullstellensatz von Bolzano f:[a;b]->R, stetig f(x_1) < 0 und f(x_2) > 0, dann gibt es ein x_0 mit f(x_0) = 0 1.4.2. Der Zwischenwersatz von Bolzano f:[a;b]->R, stetig f(x_1) <= d <= f(x_2), dann gibt es ein x_d mit f(x_d) = d 1.4.3. Der Satz vom Minimum und Maximum Es gibt eine Minimalstelle x_1 und eine Maximalstelle x_2, so, dass f(x_1) <= f(x) <= f(x_2), für alle x in [a;b] gilt 2. Grenzwerte von Funktionen 2.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann ist (f(a_n)) konvergent 2.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon 2.3. Cauchysches Konvergenzprinzip für Funktionen |x-a| < delta AND |y-a| < delta => |f(x)-f(y)| < epsilon 2.4. Rechenregeln 3. Differenzierbarkeit von Funktionen Differenzenquotient lim_(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a) oder lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h Differenzationsregeln 1. Rechenregeln 1.1. Summenregel: (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x) 1.2. Faktorregel (alpha*f(x))' = alpha*f'(x) 1.3. Produktregel = (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) 1.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2 2. Reziprokregel 3. Kettenregel ((f o g)(x))' = f'(g(x))*g'(x) (exp_a(x))' = exp_a(x)*ln(a) (log_a(x))' = 1/(x*ln(a)) Der Mittelwertsatz: f(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) Der Satz von Rolle f(b) = f(a) => 0 = (f(b)-f(a))/(b-a) Die Regel von d'Hospital Hilfsatz: (g(b)-g(a))*f'(x_0) = (f(b)-f(a))*g'(x_0) Reihen: s_n = SUM_(k=1)^n = a_1 + ... a_n Harmonische Reihe: SUM 1/k Geometrische Reihe: SUM q^n Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM (f(a)^(k))/(k!)*(x-a)^k Alternierende Harmonische Reihe/Logarithmusreihe: SUM (-1)^(n-1)/n