Der Grenzwertbegriff
Eigenschaften Konvergenter Folgen
Divergente Folgen
Das Rechnen mit konvergenten Folgen
Vier Prinzipien der Konvergenztheorie
Der Grenzwertbegriff
Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R
f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n
Schreibweise (a_n)
Fast alle Glieder a_n liegen in der Epsilon-Umgebung von a
|a_n - a| < epsilon
Eigenschaften Konvergenter Folgen
1. Jede konvergente Folge hat einen Grenzwert lim a_n
2. Jede konvergente Folge hat genau einen Grenzwert
Divergente Folgen
Das Rechnen mit konvergenten Folgen
1. Vergleichssatz
Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und gilt fast immer a_n < b_n, dann gilt a < b
2. Einschnürungssatz
Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folgen (b_n) gegen a und ist fast immer a_n <= c_n <= b_n, dann konvergiert die Folgen (c_n) gegen a
3. Satz ohne Namen 1
Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge gilt fast immer |a_n-a| < alpha_n, dann konvergiert die Folge (a_n) gegen a
4. Satz ohne Namen 2
Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folgen (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge
5. Rechnenregeln für konvergente Folgen
Vier Prinzipien der Konvergenztheorie
1. Monotonie-Prinzip
Eine Folge heißt monoton, wenn gilt a_n <= a_n+1 für alle n in N
Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist
2. Cauchysche Konvergenzprinzip
n, m, > n_0 => |a_n - a_m| < epsilon
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge
3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß
1. Hilfssatz: Jede Folge einthält eine monotone Teilfolge
2. Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge
1. Nullsatzsatz von Bolzano
f(a) > 0 und f(b) < 0, dann gibt es ein x_0, mit f(x_0) = 0
2. Zwischenwertsatz von Bolzano
f(a) <= d < f(b), dann gibt es ein x_d, mit f(x_d) = d
3. Satz vom Minimum und Maximum
Sei f[a;b]->R eine stetige Funktionen auf dem Intervall [a;b]. Dann gibt es eine Minimalstelle x1 und eine Maximalstelle x2 mit f(x_1) < f(x) < f(x_2), für alle x in [a;b]
4. Das Prinzip der Intervallschachtelung
I_n = [a_n;b_n], I_n+1 in I_n
und (b_n-a_n) ist Nullfolge
Stetigkeit von Funktionen
1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a)
2. Epsilon-Delta-Kriteriu |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon
Grenzwerte von Funktionen
1. Folgenkriterium, konvergiert die Folge a_n gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen
2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon
3. Cauchy-Kriterium |x-a| < delta UND |y-a| < delta => |f(y)-f(x)| < epsilon
Differenzierbarkeit von Funktionen
1. Die Ableitung einer Funktion
lim_{a->b} (f(b)-f(a))/(b-)
lim_{h->0} (f(x+h)-f(x))/h
Rechenregeln
1. Summenregel: (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)
2. Faktorregel: (a*f(x))' = a*f'(x)
3. Produktregel: (g(x)*f(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-g'(x)*f(x))/(g(x))^2
Umkehrregel: (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)
Der Differenzenquotient
f(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a), dann gibt es ein x_0
Der Satz von Rolle
Sei f(a) = f(b) dann gibt es ein x_0 mit f(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) = 0
Die Regel von d'Hospital
((g(b)-g(a))*f'(x_0)) = (f(b)-f(a)*g'(x_0))
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
Taylorpolynome
a_k = (f(a)^(k))/(k!)(x-a)^(k)
a_n+(x-a)^n + a_(n-1)(x-a)^(n-1)+...+...
Reihen
1. Harmonische Reihe: SUM (1/k)
2. Geometrische Reihe: SUM (q^n)
3. Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a:
SUM (f(a)^(k))/(k!)(x-a)^k
4. Logarithmusreihe, alternierende harmonische Reihe:
SUM ((-1)^(n-1))/n
