Grenzwerte von Folgen Der Grenzwertbegriff Eigenschaften konvergenter Folgen Divergente Folgen Das Rechnen mit konvergenten Folgen Vier Prinzipien der Konvergenztheorie Grenzwerte von Folgen Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n (a_n) Der Grenzwertbegriff Eine Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder der Folge (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen Eine Folge (a_n) konvergiert gegen a in R, wenn gilt |a_n - a| < epsilon Eigenschaften konvergenter Folgen 1. Eine Konvergente Folge hat genau einen Grenzwert 2. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert 3. Jede konvergente Folge ist beschränkt Divergente Folgen Das Rechnen mit konvergenten Folgen 1. Vergleichsatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n, so gilt a <= b 2. Einschnürungssatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folgen (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n < b_n, so konvergiert die Folge (c_n) gegen a 3. Satz ohne Namen I: Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n - a| < alpha_n, so konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4. Satz ohne Namen II: Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, so ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 5. Rechenregeln für konvergente Folgen Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 1. Monotonieprinzip: a_n <= a_n+1, für alle n in N Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist 2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip |a_m - a_n| < epsilon Cauchy-Folge <=> Konvergente Folge 3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n+1 in I_n (b_n-a_n) ist Nullfolge 1. Stetigkeit von Funktionen 1.1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) 1.2. Epsilon-Delta-Kriterium: |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 1.3. Rechenregeln 2. Konvergenz von Funktionen 2.1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann ist die Folge (f(a_n)) konvergent 2.2. Epsilon-Delta-Kriterium: |a_n-a| < epsilon => |f(x)-b| < delta 3. Differenzierbarkeit Ableitung lim_x->a (f(x)-f(a))/(x-a) lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h 1. Differenitationsregeln 1.1. Rechenregeln 1.1.1. Summregel: (f(x)+/-g(x))' = f'(x)+/-g'(x) 1.1.2. Faktorregel: (alpha * f(x))' = alpha * f'(x) 1.1.3. Produktoregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f'(x)*g'(x) 1.1.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/((g(x))^2) 1.2. Kettenregel: ((f o g)(x))' = f'(g(x))*g'(x) 1.3. Exponentialfunktion: (exp_a(x))' = exp_a(x)*ln(a) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung: f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) oder f'(x_0)(b-a) = f(b)-f(a) Der Satz von Rolle: Sei f(a) = f(b), dann gibt es ein x_0 mit f(x_0) = f(b)-f(a)...??? Die Regel von d'Hospital: Hilfsatz (f(b)-f(a))*g'(x_0) = (g(b)-g(a))*f'(x_0) lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Reihen: s_n = SUM_k=1^n = a_1 + ... + a_n Harmonische Reihe: SUM (1/k) Geometrische Reihe: SUM (q^n) Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM (f(a)^(k))/(k!)(x-a)^k Alternierende harmonische Reihe, Logarithmusreihe: SUM (-1)^(n-1)/n