Der Grenzwertbegriff Eigenschaften konvergenter Folgen Divergente Folgen Das Rechnen mit konvergenten Folgen Vier Prinzipien der Konvergenztheorie Der Grenzwertbegriff Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n (a_n) Ein Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder der Folge (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen |a_n-a| < epsilon Eigenschaften konvergenter Folgen 1. Jede konvergente Folge hat genau einen Grenzwert 2. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen lim a_n 3. Jede konvergente Folge ist beschränkt Divergente Folgen Das Rechnen mit konvergenten Folgen 1. Vergleichssatz Konvergieren die Folgen (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b, und gilt fast immer a_n <= b_n => a <= b 2. Einschnührungssatz Konvergieren die Folgen (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n <= b_n, so konvergiert die Folge (c_n) gegen a 3. Satz ohne Namen I Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n-a| <= alpha_n, dann konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4. Satz ohne Namen II Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 5. Rechenregeln für konvergente Folgen Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 1. Das Monotonie-Prinzip a_n <= a_n+1, n in N a_n >= a_n+1, n in N monotone Folge ist beschränkt => Konvergente Folge 2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip n, m > n_0 => |a_m - a_n| < epsilon Cauchyschfolge <=> Monotone Folge 3. Das Auswahl-Prinzip von Bolzano-Weierstraß 1. Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge, enthält eine monotone Teilfolge 4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n+1 in I_n (b_n-a_n) ist Nullfolge 1. Stetigkeit von Funktionen 1.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a => (f(a_n)) konvergiert gegen f(a) 1.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 1.3. Rechenregeln 1.4. 1.4.1. Der Nullstellensatz von Bolzano f:[a;b]->R stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a;b] f(x_1) < 0 AND f(x_2) > 0 => es gibt ein x in [a;b], mit f(x) = 0 1.4.2. Der Zwischenwertsatz von Bolzano f:[a;b]->R stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a;b] f(x_1) <= d <= f(x_2) => es gibt ein x_d in [a;b], mit f(x_d) = d 1.4.3. Der Satz vom Minimum und Maximum f:[a;b]->R stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a;b] Dann gibt es eine Minimalstelle x_1 und eine Maximalstelle x_2, so, dass f(x_1) <= f(x) <= f(x_2) für alle x in [a;b] gilt 2. Grenzwerte von Funktionen 2.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) 2.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon 2.3. Cauchy |x-a| < delta AND |y-a| < delta => |f(x)-f(y)| < epsilon 2.4. Rechenregeln 3. Differenzierbarkeit von Funktionen Differenzenquotient: lim_(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a) lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/h Differentiationsregeln 1. Rechenregeln 1.1. Summregel: (f(x)+/-g(x))' = f'(x)+/-g'(x) 1.2. Faktorregel: (alpha * f(x))' = alpha*f'(x) 1.3. Produktregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) 1.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/((g(x))^2) 2. Kettenregel: (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x) 3. (exp_a(x))' = exp_a(x)*ln(a) 4. (log_a(x))' = 1/(x*ln(a)) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) => f'(x_0)(b-a) = f(b)-f(a) Der Satz von Rolle f(b) = f(a), dann gilt x_0 = 0, mit x_0 = (f(b)-f(a))/(b-a) Die Regel von d'Hospital Hilfsatz: (f(b)-f(a))*g'(x_0) = (g(b)-g(a))*f'(x_0) lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Reihen: (s_n), mit s_n = SUM_(k=1)^n = a_1 + ... a_n Harmonische Reihe: SUM 1/k Geometrische Reihe: SUM q^n Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM (f^(k)(a))/(k!)(x-a)^k Alternierende Harmonische Reihe: SUM (-1)^(n-1)/n