Grenzwerte von Folgen
Der Grenzwertbegriff
Eigenschaften konvergenter Folgen
Divergente Folgen
Das Rechnen mit konvergenten Folgen
Vier Prinzipien der Konvergenztheorie
Grenzwerte von Folge
Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n
Schreibweise (a_n)
Eine Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle a_n der Folge in der Epsilon Umgebung von a liegen
Eine Folge konvergiert gegen a in R, wenn es für jedes epsilon > 0, einen Index n_0 so gibt, dass für alle n > n_0, |a_n - a| < epsilon
Eigenschaften konvergenter Folge
1. Vergleichssatz
2. Einschnührungssatz
3. Satz ohne Namen 1
4. Satz ohne Namen 3
5. Rechenregeln für konvergente Folge
1. Vergleichsatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= bn, dann gilt a <= b
2. Einschnürungssatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen und die Folgen (b_n) gegen a und ist fast immer a_n <= c_n <= b_n, dann konvergiert die Folge (c_n) gegen a
3. Satz ohne Namen 1: Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt |a_n-a| <= alpha_n, dann konvergiert die Folge a_n gegen a
4. Satz ohne Namen 2: Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge, und die Folge (b_n) konvergent, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge
Vier Prinzipien der Konvergenztheorie
1.) Das Monotonieprinzip
2.) Das Cauchysche Konvergenzprinzip
3.) Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß
4.) Das Prinzip der Intervallschachtelung
1.) Das Monotonieprinzip
Eine Folge ist monoton, wenn gilt a_n <= a_(n+1) (Monoton wachsend)
Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt und monoton
2.) Das Cauchysche Konvergenzprinzip
a) Eine Folge (a_n) heißt, Cauchy-Folge |a_n-a_m| < epsilon für alle m > n gilt
b) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge und umgekehrt
3.) Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß
a) Hilfsatz, jede Folge enthält eine monotone Teilfolge
b) Jede beschränkte Folge, einthält eine konvergente Teilfolge
4.) Das Prinzip der Intervallschachtelung
Das Intervall [a_(n+1), b_(n+1)] in [a_n,b_n] und (b_n-a_n) ist eine Nullfolge
Funktionen
Stetigkeit von Funktionen
Grenzwerte von Funktionen
Differenzierbarkeit von Funktionen
Grenzwerte von Funktionen
1.) Folgenkriterium für den Grenzwert
2.) Epsilon-Delta-Kriterium für den Grenzwert
3.) Rechenregeln für Funktionskonvergenz
1.) Folgenkriterium für den Grenzwert
konvergiert die Folgen a_n gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen b
2.) Epsilon-Delta-Kriterium für den Grenzwert
|a_n-a| < delta => |f(a_n)-f(a)| < epsilon
3.) Rechenregeln für Funktionskonvergenz
1.) Nullstellensatz von Bolzano
2.) Zwischenwertsatz von Bolzano
3.) Satz von Minimum und Maximum
1.) Nullstellensatz von Bolzano
Gilt f(a) < 0 < f(b) dann gibt es ein f(a_0) = 0
2.) Zwischenwertsatz von Bolzano
Gilt f(a) < d < f(b), dann gibt es ein f(a_0) = d
3.) Satz von Minimum und Maximum
Ist die Funktion stetig auf dem abgeschlossenen Interval [a_n,b_n] und gibt es ein, dann gibt es ein Minmum und Maximaum
Konvergenz:
Daselbe, wie bei Stetigkeit, gerade falsch herum genannt. Aber es gibt, das Cauchysche Konvergenzprinzip für Grenzwerte von funktionn
Gilt
|a_n - a_m| < delta => |f(a_n) - f(a_m)| < epsilon
Differenzierbarkeit
Differenzenquotient
x_0 = (f(b)-(a))/(b-a) Oder (b-a)*x_0 = f(b)-(a)
f'(x), 1. Ableitung
f''(x), 2. Ableitung
f'''(x), 3. Ableitung
f^(n)(x), n-ter Ableitung
Summenregel: f'(a) + g'(a) = (f(a)+f(a))'
Faktorregel: alpha * f'(x) = (alpha * f(x))'
Produktregel: (f(x)*g(x))' = f(x)*g'(x)+f'(x)*g(x)
Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2
Kettenregeln: (f o g)(x) = f(g'(x))*g(x)
Die Regel von d'Hospital
lim f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)
Rolle, entspricht Mittelwertsatz der Differentialrechnung nur mit 0
Taylor-Polynome: Glied: ((f(a))^(k)/(k!))(x-a)^k
a_n(x-a)^n+a_(n-1)+(x-a)^(n-1)+...+(x-a)^0
Reihen:
Eine Reihe ist eine Folge (s_n), webei gilt
SUM_(0)^n = a_n+a_(n-1)+...a_0
Harmonische Reihe: SUM_{k=1}^n(1/k)
Geometrische Reihe: SUM_{k=1}^n q^n
Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM_k=0^infty (f(a)^(k))(k!)(x-a)^k
Logarithmusreihe bzw. die alternierende harmonische Reihe: SUM (-1)^(n-1)/n
