Der Grenzwertbegriff Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n Schreibweise (a_n) Eine Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder der Folgen (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen |a_n-a| < epsilon Eigenschaften konvergenter Folgen 1. Jede konvergente Folge hat genau einen Grenzwert lim a_n 2. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen den Grenzwert von (a_n) 3. Jede konvergente Folge ist beschränkt Divergente Folgen Das Rechnen mit konvergenten Folgen 1. Vergleichssatz Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und gilt fast immer a_n <= b_n, dann gilt a <= b 2. Einschnürungssatz Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folgen (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n <= b_n, dann konvergiert die Folge (c_n) gegen a 3. Satz ohne Namen I Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n - a| <= alpha_n, dann konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4. Satz ohne Namen II Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) beschränkt 5. Rechenregeln für konvergente Folgen Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 1. Monotonieprinzip Eine Folge (a_n) heißt monoton falls gilt a_n+1 <= a_n für alle n in N Eine Monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist 2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip Eine Folge heißt Cauchy-Folge m, n > n_0 |a_m-a_n| < epsilon Eine Folge ist genau dann eine konvergente Folge, wenn sie eine Cauchy-Folge ist 3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n+1 in I_n (b_n-a_n) < epsilon 1. Stetigkeit von Funktionen 1.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) 1.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 1.3. Rechenregeln 1.4. 1.4.1. Der Nullstellensatz von Bolzano f:[a;b]->R stetig auf dem [a;b] f(x_1) < 0 < f(x_2), dann gibt es ein x_0 mit f(x_0) = 0 1.4.2. Der Zwischenwertsatz von Bolzano f:[a;b]->R stetig auf dem [a;b] f(x_1) < d < f(x_2), dann gibt es ein x_d mit f(x_d) = d 1.4.3. Der Satz vom Minimum und Maximum f:[a;b]->R stetig auf dem [a;b] Dann gibt es ein x_1 und ein x_2 mit f(x_1) <= f(x) <= f(x_2), mit x in [a;b] 2. Konvergenz von Funktionen 2.1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann ist die Folge (f(a_n)) konvergent 2.2. Epsilon-Delta-Kriterium: |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon 2.3. Cauchy-Kriterium: |x-a| < delta AND |y-a| < delta => |f(x)-f(y)| < epsilon 2.4. Rechenregeln 3. Differenzierbarkeit Differenzenquotient lim_x->a (f(x)-f(a))/(x-a) lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h Differentationsregeln 1. Rechenregeln 1.1. Summeregel: (f(x)+/-g(x))' = f(x)'+/-g'(x) 1.2. Faktorregel: (alpha*f(x))' = alpha*f'(x) 1.3. Produktregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) 1.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/((g(x))^2) 2. Reziprokregel 3. Kettenregeln: (f o g)'(x) = f'(g(x))*g'(x) exp_a(x) = exp_a(x)*ln(a) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) oder f'(x_0)*(b-a) = f(b)-f(a) Der Satz von Rolle: Sei f(b) = f(a) Dann gibt es ein x_0 mit f'(x_0) = 0 Die Regel von d'Hospital Hilfsatz (f(b)-f(a))*g'(x_0) = (g(b)-g(a))*f'(x_0) lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Reihen: Sei die Folge (a_n) eine Folge. Die Folge (s_n) mit s_n = SUM_(k=1)^n = a_1 + ... + a_n wird Reihe genannt 1. Harmonische Reihe: SUM (1/k) 2. Geometrische Reihe: SUM (q^n) 3. Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM (f^(n)(a))/(k!)(x-a)^k 4. Logarithmusreihe/alternierende harmonische Reihe: SUM (-1)^(n-1)/n