Grenzwerte von Folgen Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, ..., f(n) = a_n (a_n) Der Grenzwertbegriff Eine Folge (a_n) konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder von (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen Eine Folge (a_n) konvergiert gegen a in R, wenn |a_n - a| < epsilon Eigenschaften konvergenter Folgen 1. Eine konvergente Folge, besitzt genau einen Grenzwert 2. Jede Teilfolge einer konvergenten Folgen konvergiert gegen den Grenzwert von (a_n) 3. Jede konvergente Folge ist beschränkt Divergente Folgen Das Rechnen mit Konvergenten Folgen 1. Vergleichssatz Konvergieren die Folge (a_n) gegen und die Folge (b_n) gegen und ist fast immer a_n <= b_n => a <= b 2. Einschnürungssatz Konvergieren die Folgen (a_n) und (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n < b_n, so konvergiert die Folge (c_n) gegen a 3. Satz ohne Namen I Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n - a| < alpha_n, so konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4. Satz ohne Namen II Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 5. Rechenregeln für konvergente Folgen 4 Prinzipien der Konvergenztheorie 4.1. Das Monotonieprinzip a_n <= a_n+1 a_n >= a_n+1 Eine Monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist 4.2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip für Folgen m, n >= n_0 => |a_n - a_m| < epsilon Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist 4.3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine Monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 4.4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n in I_(n+1) (b_n-a_n) ist Nullfolge I. Stetigkeit von Funktionen I.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) I.2. Epsilon-Delta-Kriterium |a_n-a| < epsilon => |f(a_n)-f(a)| < delta I.3. Rechenregeln II. Grenzwerte von Funktionen II.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) II.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta = |f(x)-b| < epsilon II.3. Cauchysches Konvergenzprinzip für Funktionen |x-a| < delta AND |y-a| < delta => |f(x)-f(y)| < epsilon II.4. Rechenregeln III. Differenzierbarkeit Differentienzenquotient: lim_(x->a) = (f(x)-f(a))/(x-a) lim_(h->0) = (f(x+h)-f(x))/h Differenziationsregeln 1. Rechenregeln 1.1. Summeregel: (f(x)+/-g(x))' = f'(x)+/-g'(x) 1.2. Faktorregel: (alpha * f(x))' = alpha * f'(x) 1.3. Produktregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x) 1.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/((g(x))^2) 2. Kettenregel: ((f o g)(x))' = f'(g(x))*g'(x) 3. Exponentialfunktion (exp_a(x))' = exp_a(x)*ln(a) 4. Logarithmus: (log_a(x))' = 1/(x*ln(a)) Der Mittelwertsatz: f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) oder f'(x_0)(b-a) = f(b)-f(a) Der Satz von Rolle: f(a) = f(b) => es gibt x_0 mit f'(x_0) = 0 Die Regel von d'Hospital: Hilfsatz: (f(b)-f(a))*g'(x_0) = (g(b)-g(a))*f'(x_0) lim_(x->a) f(x)/g(x) = lim_(x->a) f'(x)/g'(x) Summen: Sei die Folge (a_n) eine Folge, die Folge (s_n) mit s_n = SUM_(k=0)^n = a_1 + ... + a_n wird Reihe genannt 1. Harmonische Reihe: SUM (1/k) 2. Geometrische Reihe: SUM (q^n) 3. Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM (f^(k)(a))/(k!)(x-a)^k 4. Logarithmusreihe/alternierende harmonische Reihe: SUM (-1)^(n-1)/n