1. Der Grenzwertbegriff Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n Schreibweise: (a_n) Eine Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder von (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen |a_n - a| < epsilon 2. Eigenschaften Konvergenter Folgen Jede Konvergente Folge hat genau einen Grenzwert 3. Divergente Folgen 4. Rechnen mit konvergenten Folgen 4.1. Vergleichssatz Konvergiert die Folgen (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n, dann gilt a <= b 4.2. Einschnührungssatz Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a, und ist fast immer a_n <= c_n <= b_n, dann konvergiert die Folge (c_n) gegen a 4.3. Satz ohne Namen I Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n - a| <= alpha_n, dann konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4.4. Satz ohne Namen II Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folgen (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) in eine Nullfolge 4.5. Rechenregeln für konvergente Folgen 5. Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 5.1. Monotonieprinzip Eine Folge (a_n) heißt monoton, falls gilt a_n <= a_n+1, für alle n in N Eine motone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist 5.2. Cauchysches Konvergenzprinzip Gilt m, n > n_0 und gilt |a_m - a_n| < epsilon => Cauchy-Folge Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist 5.3. Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 5.4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n+1 in I_n (b_n-a_n) ist Nullfolge I. Stetigkeit von Funktionen 1. Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) 2. Epsilon-Delta: |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 3. .. 4.1 Nullstellensatz von Bolzano: Stetige Funktion f auf [a;b], dann f(a) < 0 < f(b), dann gibt es x_0 mit f(x_0) = 0 4.2. Zwischenwertsatz ... f(a) < d < f(b), dann gibt es x_d, mit f(x_d) = d 4.3. Satz vom Minimum und Maximum Stetig auf [a;b], dann gibt es ein x_1 und ein x_2 mit f(x_1) <= f(x) <= f(x_2) II. Konvergenz von Funktionen 1. Folgenkriterium: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) 2. Epsilon-Delta-Kriterium: |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon 3. Cauchy: |x-a| < delta UND |y-a| < delta => |f(y)-f(x)| < epsilon III. Differenzierbarkeit Differenzenquotient lim_(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a) ODER lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/h Rechenregeln: