Grenzwerte von Folgen Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n Der Grenzwertbegriff Eine Folge konvergiert gegen a, wenn in jeder epsilon-Umgebung von a, fast alle Glieder der Folge (a_n) liegen |a_n-a| < epsilon Eigenschaften konvergenter Folgen 1. Eine konvergente Folge hat genau einen Grenzwert 2. Jede Teilfolge eine konvergenten Folge konvergiert gegen den Grenzwert von (a_n) 3. Jede konvergente Folge ist beschränkt Divergente Folgen Das Rechnen mit konvergenten Folgen 1. Vergleichssatz Konvergieren die Folge (a_n) gegen und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n, dann gilt a <= b 2. Einschnürungssatz Konvergieren die Folgen (a_n) und (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n <= b_n, dann konvergiert die Folge (c_n) gegen a 3. Satz ohne Namen I Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n - a| < alpha_n, dann konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4. Satz ohne Namen II Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 5. Rechenregeln Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 1. Monotonie-Prinzip a_n <= a_n+1 a_n >= a_n+1 Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie monoton und beschränkt ist 2. Cauchysches Konvergenzprinzip m, n > n_0 => |a_n - a_m| < epsilon Konvergente Folg <=> Cauchy-Folge 3. Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n+1 in I_n (a_n-b_n) ist Nullfolge I. Stetigkeit von Funktionen I.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_)) gegen f(a) I.2. Epsilon-Delta |x-a| < delta = |f(x)-f(a)| < epsilon I.3. Rechenregeln I.4.1. Nullstellensatz von Bolzano f:[a;b]->R, stetig f(x_1) < 0 AND f(x_2) > 0, dann gibt es x_0 mit f(x_0) = 0 I.4.2. Zwischenwertsatz von Bolzano f:[a;b]->R, stetig f(x_1) < f(x_d) < f(x_2) dann gibt es ein x_d, mit f(x_d) = d I.4.3. Satz vom Minimum und Maximum f:[a;b]->R, stetig Dann gibt es eine Minimalstelle x_1 und eine Maximalstelle x_2, mit f(x_1) <= f(x) <= f(x_2), für alle x in [a;b] II. Grenzwerte von Funktionen II.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann ist die Folge (f(a_n)) konvergent II.2. Epsilon-Delta |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon II.3. Cauchy |x-a| < delta AND |y-a| < delta => |f(x)-f(y)| < epsilon II.4. Rechenregeln III. Differenzierbarkeit - Differenzenquotien lim_(x->a) = (f(a)-f(x))/(x-a) lim_(h->0) = (f(x+h)-f(x))/h - Rechenregeln: 1. Rechenregeln 1.1. Summregeln: (f(x)+/-g(x))' = f'(x)+/-g'(x) 1.2. Faktorregel: (alpha * f(x))' = alpha * f'(x) 1.3. Produktregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) 1.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/((g(x))^2) 2. Kettenregel: ((f o g)(x))' = f'(g(x))*g'(x) 3. Exponentialfunktion: (exp_a(x))' = exp_a(x)*ln(a) 4. Logarithmus: (log_a(x))' = 1/(x*ln(a)) - Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) oder f'(x_0)(b-a) = f(b)-f(a) - Der Satz von Rolle f(a) = f(b) dann gibt es x_0 mit f'(x_0) = 0 - Die Regel von d'Hospital Hilfssatz: (g(b)-g(a))*f'(x_0) = (f(b)-f(a))*g'(x_0) lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Reihen 1. Harmonische Reihe: SUM 1/k 2. Geometrische Reihe: SUM q^n 3. Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM (f^(k)(a))/(k!)(x-a)^k 4. Alternierende harmonische Reihe, Logarithmusreihe: SUM (-1)^(n-1)/n