1. Der Grenzwertbegriff Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R mit f(n) = a_n, f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ..., f(n) = a_n Schreibweise (a_n) 2. Eigenschaften Konvergenter Folgen 2.1. Jede konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert 3. Divergente Folgen 4. Das Rechnen mit konvergenten Folgen 4.1. Vergleichssatz Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= b_n, so gilt a <= b 4.2. Einschnürungssatz Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n <= b_n, so konvergiert die Folge (c_n) gegen a 4.3. Satz ohne Namen I Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n-a|<=alpha_n, so konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4.4. Satz ohne Namen II Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfoge 4.5. Rechenregeln für konvergente Folgen 5. Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 5.1. Das Monotonieprinzip Eine Folge heißt monoton, wenn gilt: a_n <= a_n+1 für alle n in N Jede Monotone Folge konvergiert, wenn sie beschränkt ist. 5.2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip Cauchy-Folge, m, n > n_0 => |a_n - a_m| < epsilon Eine Folge ist genau dann eine konvergente Folge, wenn sie eine Cauchy-Folge ist 5.3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 5.4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_(n+1) in I_n (b_n-a_n) ist eine Nullfolge 1. Stetigkeit von Funktionen 1.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) 1.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 1.3. Rechenregeln 2. Grenzwerte von Funktionen 1.1. Folgenkriterium konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen b 1.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon 1.3. Cauchysches Konvergenzprinzip für Grenzwerte von Funktionen |x-a| < delta UND |y-a| < delta => |f(y)-f(x)| < epsilon 3. Differenzierbarkeit von Funktionen 3.1. Der Grenzwertbegriff lim (f(x)-f(a))/(x-a) oder lim (f(a+h)-f(a))/h 3.2. Rechenregeln bei der Differenzierbarkeit 3.2.1. Summenregel: (f(x)+/-g(x))' = f(x)'+/-g'(x) 3.2.2. Faktorregel: (alpha * f(x))' = alpha * f'(x) 3.2.3. Produktregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x) 3.2.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/((g(x))^2) 3.2.5. Kettenregeln: (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x) Der Mittelwertsatz: f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) oder f'(x_0)(b-a) = f(b)-f(a) Der Satz von Rolle: f(a) = b(b), dann gibt es ein x_0 in [a;b] mit f(x_0) = 0 Die Regel von d'Hospital: Hilfsatz f'(x_0)(g(b)-g(a)) = g'(x_0)(f(b)-f(a)) lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Reihen: 1. Harmonische Reihe: SUM (1/k) 2. Geometrische Reihe: SUM (q^n) 3. Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM (f(a)^(k))/(k!)(x-a)^k 4. Alternierende Harmonische Reihe/Logarithmusreihe: SUM (-1)^(n-1)/n