Der Grenzwertbegriff Eigenschaften Konvergenter Folgen Divergente Folgen Das Rechnen mit Konvergenten Folgen Vier Prinzipien der Konvergenztheorie Der Grenzwertbegriff Eine Folge ist eine Abbildung f(n) -> a_n, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, ..., f(n) = a_n. Wir schreiben (a_n) Eine Folge konvergiert gegen, wenn wir alle a_n, fast alle Glieder a_n in der Epsilon-Umgebung von a liegen Also für n gegen Unendlich |a_n-a| < epsilon Oder fast alle liegen drin Eigenschaften Konvergenter Folgen Jede Konvergente Folge ist beschränkt Jeder Konvergente Folge ist monoton Jede Konvergente Folge hat genau einen Grenzwert Divergente Folgen Das Rechnen mit Konvergenten Folgen 1. Vergleichsatz: Konvergiert die Folge (a_n) und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n so folgt a <= b 2. Einschnürungssatz: Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n <= b_n, dann konvergiert die Folge (c_n) gegen a 3. Satz ohne Namen 1: Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n-a| <= alpha_n dann konvergiert die Folgen (a_n) gegen a 4. Satz ohne Namen 2: Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, dann ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 5. Rechenregeln für konvergente Folge Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 1. Das Monotonie-Prinzipip Eine Folge heißt monoton, wenn gilt a_n <= a_(n+1) für alle n in N Eine Monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist 2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn für alle n>m gilt |a_m-a_n| < epsilon Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist 3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge Konvergente Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede Beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_(n+1) in I_n (b_n-a_n) ist eine Nullfolge 1. Stetigkeit von Funktionen 2. Grenzwerte von Funktionen 3. Differenzierbarkeit von Funktionen 1. Grenzwerte von Funktionen 1.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) 1.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 1.3. Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen 1.4. Der Nullstellensatz von Bolzano Sei f(a) < 0 und f(b) > 0, dann gibt es ein x_0, mit f(x_0) = 0 1.4. Der Zwischenwertsatz von Bolzano Sei d eine Zahl zwischen f(a) und f(b) also f(a) <= d <= f(b), dann gibt es ein x_d, mit x_d = d??? 1.5. Der Satz vom Minimum und Maximum Heißt so ungefährt. Es gibt ein Minimm x0 und ein Maximum x1. Wenn das Stetig ist - auf einem Intervall 2. Grenzwerte von Funktionen 2.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) dann gilt |f(x)-b| < espsioln 2.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta |f(x)-b| < epsilon 2.3. Cauchysches Konvergenzprinzip für Funktionen |f(x)-f(a)| < delta und |f(y)-f(a)| < delta => |f(y)-f(x)| < epsilon Differenzierbarkeit von Funktionen 1. Der Differenzenquotient (f(b)-f(a))/(b-a) = f(x_0) Oder eben f(x_0)*(b-a) = f(b)-f(a) 2. Rechenregeln der Differenzierbarkeit Summeregel: f'(x)-g'(x) = (f(x)-g(x))' Faktorregel: alpha*f'(x) = (alpha*f(x))' Produktregel: (f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x)^2) Kettenregeln (f o g)(x) = f'(g(x))*g'(x) Ableitungen f'(x), f''(x), f'''(x), f^(n)(x) Der Mittelwertsatz f(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) oder f(x_0)*(b-a) = f(b)-f(a) Der Satz von Rolle Die Regel von d'Hospital Hilfsatz: (f(b)-f(a))*g'(x) = (g(b)-g(a))*f'(x) f(x)/g(x) = f'(x)g'(x) Reihen: s_n = SUM a_n = a_1+a_2+...+a_n Taylorpolynome a_k = (f(x)^(k))(k!) a_n(x-a)^n+a_(n-1)(x-a)^(n-1)+..+a_0(x-a)^0 Harmonische Reihe SUM 1/k Geometrische Reihe SUM q^n Taylorreihe SUM (f^(k)(a))/(k!)(x-a)^k Alternierende Harmonische Reihe, Logarithmusreihe SUM (-1)^(n-1)/n