1. Grenzwerte von Folgen 2. Der Grenzwertbegriff 3. Konvergente Folgen 4. Divergente Folgen 5. Das Rechnen mit konvergenten Folgen 6. Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 1. Grenzwerte von Folgen Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, ..., f(n) = a_n (a_n) 2. Der Grenzwertbegriff Eine Folge konvergiert gegen a, wenn fast alle Glieder der Folge (a_n) in der Epsilon-Umgebung von a liegen Eine Folge (a_n) konvergiert gegen a in R, wenn gilt |a_n - a| < epsilon 3. Eigenschafter Konvergenter Folgen 3.1. Jede Konvergente Folge hat genau einen Grenzwert 3.2. Jede konvergente Folge ist beschränkt 3.3. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge Konvergiert gegen den Grenzen 4. Divergente Folgen 5. Das Rechnen mit konvergenten Folgen 5.1. Vergleichssatz Konvergiert die Folgen (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n, so gilt a <= b 5.2. Einschnürungssatz Konvergieren die Folgen (a_n) und (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n <= b_n, so konvergiert die Folge (c_n) gegen a 5.3. Satz ohne Namen I Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n - a| <= alpha_n, so konvergiert die Folge (a_n) gegen a 5.4. Satz ohne Namen II Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) beschränkt, so ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 5.5. Rechenregeln für konvergente Folgen 6. Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 6.1. Das Monotonieprinzip a_n <= a_n+1 OR a_n >= a_n+1 => monoton Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist 6.2. Das Cauchysche Konvergenzprinzip für Folgen m, n > n_0 => |a_m-a_n| < epsilon Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist 6.3. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge 6.4. Das Prinzip der Intervallschachtelung I_n = [a_n;b_n] I_n+1 in I_n (b_n-a_n) ist Nullfolge I. Stetigkeit von Funktionen I.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) I.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon I.3. Rechenregeln II. Grenzwerte von Funktionen II.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) II.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon II.3. Cauchy |x-a| < delta AND |y-a| => |f(x)-f(y)| < epsilon II.4. Rechenregeln III. Differenzierbarkeit Differenzenquotien lim_x->a (f(x)-f(a))/(x-a) lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h Differentiationsregeln 1. Rechenregeln 1.1. Summenregel: (f(x)+/-g(x))' = f'(x)+/-g'(x) 1.2. Faktorregel: (alpha * f(x))' = alpha * f'(x) 1.3. Produktregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) 1.4. Quotientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/((g(x))^2) 2. Kettenregel: (f o g)'(x) = f'(g(x))*g'(x) 3. Exponentialfunktion: (exp_a(x))' = exp_a(x)*ln(a) 4. Logarithmus: (log_(a)) = 1/(x*ln(a)) Der Mittelwertsatz f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) bzw. f'(x_0)*(b-a) = f(b)-f(a) Der Satz von Rolle f(b) = f(a), dann gibt es x_0 mit f'(x_0) = 0 Die Regel von D'Hospital Hilfssatz (g(b)-g(a))/(f'(x_0)) = (f(b)-f(a))*g'(x_0) lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Reihen s_n = SUM_(k=0)^n a_k = a_1 + ... a_n Harmonische Reihe: SUM 1/k Geometrische Reihe: SUM q^n Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt a: SUM(f^(k)(a))/(k!)(x-a)^k Logarithmusreihe, alternierende Harmonische Reihe: SUM (-1)^(n-1)/n