Eine Folge ist eine Abbildung f:N->R, mit f(1) = a_1, f(2) = a_2, f(3) = a_3, ... (n) = a_n Eigenschaften Konvergenter Folgen 1. Eine konvergente Folge hat genau einen Grenzwert Divergente Folge Das Rechnen mit Konvergente Folgen 1. Vergleichssatz Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen b und ist fast immer a_n <= b_n, so gilt a <= b 2. Einschnürungssatz Konvergiert die Folge (a_n) gegen a und die Folge (b_n) gegen a und gilt fast immer a_n <= c_n <= b_n, so konvergiert die Folge (c_n) gegen a 3. Satz ohne Namen 1 Ist die Folge (alpha_n) eine Nullfolge und gilt fast immer |a_n-a| <= alpha_n, so konvergiert die Folge (a_n) gegen a 4. Satz ohne Namen 2 Ist die Folge (a_n) eine Nullfolge und die Folge (b_n) konvergent, so ist die Folge (a_n*b_n) eine Nullfolge 5. Rechenregeln für konvergente Folge Vier Prinzipien der Konvergenztheorie 1. Monotonieprinzip Eine Folge heißt monoton, falls gilt a_n <= a_n+1 für alle n in N Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist 2. Cauchyches Konvergenzprinzip Eine Folge heißt Cauchy-Folge wenn gilt |a_m-a_n| < epsilon für alle n und m in N Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. 3. Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraße Hilfsatz: Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge Jede beschränkte Folge, enthält eine konvergente Teilfolge 4. Prinzip der Intervallschachtelung mit I_n in I_(n+1) (b_n - a_n) ist eine Nullfolge 1. Stetigkeit von Funktionen 1.1. Folgenkriterium von Funktionen Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen f(a) 1.2. Epsilon-Delta-Kriterium von Funktionen |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon 1.3. Rechenregeln für Stetigkeit von Funktionen 1. Der Nulsstellensatz von Bolzano Funktion stetig auf dem Interval [a;b] f(a) < 0 und f(b) > 0 Dann gibt es ein x_0 mit f(x_0) = 0 2. Der Zwischwertsatz von Bolzano Funktion stetig auf dem Intervall [a;b] f(a) <= d <= f(b) Dann gibt es ein x_d mit f(x_d) = d 3. Der Satz vom Minimum und Maximum f stetig auf [a;b] Dann gibt es eine Minimalstelle x_1 und eine Maximalstelle x_2 2. Konvergenz Funktionen 2.1. Folgenkriterium Konvergiert die Folge (a_n) gegen a, dann Konvergiert die Folge (f(a_n)) gegen b 2.2. Epsilon-Delta-Kriterium |x-a| < delta => |f(x)-b| < epsilon 2.3. Cauchysches Konvergenzprinzip von Funktionen |x-a| < delta und |y-a| < delta |f(x)-f(y)| < epsilon 3. Differenzierbarkeit von Funktionen 1. Der Differenzenquotient 2. Rechenregeln (f(b)-f(a))/(b-a) = f(x_0) Rechenregeln 1. Summenregel: f'(x)+/g'(x) = (f+/-g)(x)' 2. Faktorregel: alpha*f'(x) = (alpha f(x))' 3. Produktregel: (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) 4. Quoitientenregel: (f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2 Kettenregel: ((f o g)(x))' = f'(g(x))*g'(x) 1. Der Mittelwertsatz f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(x_0)*(b-a) = f(b)-f(a) 2. Der Satz von Rolle f(a) = f(b) dann gibt es ein x_0 mit x_0 = 0 mit 3. Die Regel von d'Hospital (f(b)-f(a))*g'(x_0) = (g(b)-g(a))*f'(x_0) lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Reihen: s_n = SUM a_n = a_1+a_2+..+a_n Harmonische Reihe: SUM (1/k) Geometrische Reihe: SUM (q^n) Taylorreihe: SUM (f^(k)(a))(k!)(x-a)^k Logarithmusrreihe: SUM (-1)^(n-1)/n